Алгебраические числа

Алгебраические числа

Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел. Если рассматривать корни многочленов: f(x)=x n +a 1 x n-1 +…+a n с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.

Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел. I . Краткий исторический очерк.

Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b – обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел.

Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел.

Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота. В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел. Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете. К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм. II. Поле алгебраических чисел. 2.1 Понятие числового поля Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий.

Определение 1 : Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М. Пример: 1) N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. ' a, b N = > (a+b) N. В отношении умножения множество N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления.

Действительно: 5, 7 N, но 5-7=-2 N, 3, 2 N, но 3:2=1,5 N 2) Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. 3) Множество чисел вида 2 к , к N, замкнуто относительно умножения и деления. 2к * 2l=2k+l 2к:2l=2k-l В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств.

Рассмотрим один их классов, называемых полем.

Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления.

Последнее означает, что для любых a, b M, должно иметь место a+b, a-b, a*b M. Так же для любого a M и любого b ¹ 0 из М, должно выполняться a:b M. Пример: Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются: 1) поле всех рациональных чисел; 2) поле всех вещественных чисел; 3) поле всех комплексных чисел. Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления.

Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел. 2.2 Определение алгебраического числа.

Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел.

Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами: a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 (a 0 , a 1 , … ,a n Z; a n ¹ 0), т.е. выполняется: a n z n +a n-1 z n-1 +…+a 1 z+a 0 =0 Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными. В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a 0 , a 1 , … ,a n-1 , a n были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число. К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа.

Действительно, рациональное число z= (p, q N) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0. Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом.

Действительно, число z= (p, q N) является корнем уравнения: qx n -p=0. Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше.

Пример: 1) Чиcло z= является алгебраическим.

Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z 2 =2+2 2 -5= 4 -10z 2 +25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения: x 4 -10x 2 +1=0 2) Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b – рациональные числа, являются алгебраическими.

Докажем это. (p, q, N). Из равенства . Отсюда, возводя в квадрат, получим: Следовательно, я является корнем уравнения: все коэффициенты которого целые числа. В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз. Из f(x)=0 следует f(z) j (x)=0, где в качестве j (x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.

Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z. Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т.е. z – алгебраическое число степени n. Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами.

Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями.

Пример: 1) - алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая иррациональность.

Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x 3 -2=0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

Определение 5 : Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f(x)=x n +b 1 x n-1 + … +b n (n ³ 1) (1) с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для z. Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z. Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член.

Пример: 1) Минимальным многочленом для является x 3 -2, так как корень этого многочлена не является корнем какого-либо многочлена степени с рациональными коэффициентами.

Теорема 1: Если f(x) минимальный многочлен алгебраического числа z и f(x) многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(z)=0, то f(x) делитель F(x), т.е. F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами.

Доказательство: Согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде: F(x)=f(x)g(x)+r(x) где g(x) и к(ч) – многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x). Поскольку F(x)=0 и f(z)=0, то придавая x значение z, получаем r(z)=0; z – корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального для z многочлена, т.е. меньшей чем степень z. Это может быть только если r(x) тождественно равен нулю, а значит F(x)=f(x)g(x). Теорема доказана.

Теорема 2: Для любого алгебраического числа z минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

Доказательство: Пусть f(x) – минимальный многочлен для z. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, т.е., что f(x)= w (x) j (x), w (x) j (x) – многочлены с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n. Из равенства w (x) j (x)=f(x)=0 следует, что из двух чисел w (x) и j (x), по крайней мере одно равно нулю. Пусть например w (x)=0, тогда z – корень тождественно не равного нулю многочлена w (x) с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n, т.е. меньшей чем у f(x). А это противоречит тому, что f(x) – минимальный многочлен для z. Предположение, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т.е. f(x) неприводим над этим полем.

Теорема доказана.

Теорема 3: Если z корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени n, то z – алгебраическое число степени n. Доказательство: Обозначим минимальный многочлен для z через f(x). Согласно теоремы 1: F(x)=f(x)g(x); где g(x) – многочлен с рациональными коэффициентами.

Поскольку F(x) неприводим над полем рациональных чисел и f(x) отлично от постоянного, то g(x)=c, где c – рационально. F(x)=cf(x), т.е. z – алгебраическое число n-й степени.

Теорема доказана.

Пример: Пусть p – простое число. при любом простом целом a (a>1), не равном p-ой степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена. x p -a=0 Если z – алгебраическое число степени n и f(x) – минимальный многочлен для z, то все корни z 1 , z 2 , … z n уравнения f(x)=0, отличные от z, называют сопряженным с z. Один из корней совпадает с z, будем ставить его на первое место, т.е. z=z 1 . 2.3. Поле алгебраических чисел Теорема 4: Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел a и b (для частного при b ¹ 0) являются алгебраическими числами.

Доказательство: 1) Пусть a - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого a 1 , a 2 , … , a n , a и b - корень многочлена j (x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого b 1 , b 2 , … b m ( b = b 1 ). Рассмотрим многочлен: F(x)= a i + b i ))= = (xa 1 - b 1 ) (xa 1 - b 2 ) … (xa 1 - b m ) (xa 2 - b 1 ) (xa 2 - b 2 ) … (xa 2 - b m ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (xa n - b 1 ) (xa n - b 2 ) … (xa n - b m ) (2) Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин a 1 , a 2 , … , a n , то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится. Это значит, что F(x) – симметрический многочлен по отношению b 1 , b 2 , … b m . В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов: a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … b m . Согласно известным теоремам о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … b m , т.е. через целые коэффициенты, f(x) и j (x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, число a + b = a 1 + b 1 , являющегося, как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число. 2) Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел a и b есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен: F(x)= a i b i ) (3) Этот многочлен имеет в качестве одного из своих корней a 1 b 1 = a b . 3) Пусть b - корень многочлена j (x)=b 0 x n + b 1 x n-1 + … b n , (b i – целые числа). Тогда - b является корнем многочлена с целыми коэффициентами. j (-x)=(-1) n b 0 x n +(-1) n-1 b 1 x n-1 + … b n , а при b ¹ 0 корень многочлена x n j ( 0 +b 1 x+ … b n x n . Таким образом, вместе с b алгебраическими числами являются - b и Разность может быть представлена в виде a +(- b ), т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел. При b ¹ 0 частное Если степени алгебраических чисел a и b равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и j (x) соответствующие минимальные многочлены будем в (2) и (3) иметь многочлены степени mn, и a b алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены j (x), j (-x), и x n одинаковой степени, а, следовательно, b , - b , a - b и имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана.

Пример: 1) и алгебраические числа 2-й степени, а - алгебраическое число 4 степени.

Действительно, если a = a 2 =5+ 4 -10 a 2 +1=0, т.е. a корень многочлена f(x)=x4-10x2+1 с целыми коэффициентами, и f(x)=(x- (4) Из теоремы единственности над полем рациональных чисел множители f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4). Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 3, - алгебраическое число 4-й степени. 2) a = и b = a b = - алгебраическое число 3-й степени. III . Рациональные приближения алгебраических чисел. 3.1. Теорема Лиувилля.

Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных приближений: погрешность при замене алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби. Для алгебраического числа 1-й степени существует постоянная c>0, такая, что для любой рациональной дроби a , будет выполняться неравенство: (5) Для алгебраического числа 2-й степени можно подобрать c>0, такое, что для любой рациональной дроби, будет иметь место неравенство: (6) В 1844 г., французским математиком Лиувиллем, впервые была доказана общая теорема: Теорема 5: Для любого действительного алгебраического числа a степени n можно подобрать положительноеc, зависящее только от a , такое, что для всех рациональных чисел ( ¹ a ) будет иметь место неравенство: (7) Доказательство: Пусть f(x)=A 0 x n + A 1 x n-1 +A n неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является a . В качестве f(x) можно, например, взять многочлен, получающийся из минимального для a многочлена после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное их знаменателей.

Согласно теореме Безу, имеем: f(x)=(xa )g(x), (8) где g(x) – многочлен с действительными коэффициентами.

Возьмем произвольное d >0. |g(x)| - непрерывная, а следовательно, ограниченная функция от x в сегменте [ a - d ; a + d ] , т.е. существует положительное число M, такое, что |g(x)| M, для всех x из этого сегмента.

Обозначим через c=min и Для произвольного рационального числа могут представиться две возможности: 1) лежит вне сегмента | a - d m ; a + d m |, тогда 2) удовлетворяет неравенствам: a - d a + d , тогда |g( M и, подставляя в (8) вместо x значение (9) Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен f(x) степени n ³ 2 не имеет рациональных корней, а при n=1 не имеет корней, отличных от a , так что: f( )= Поскольку числитель - целое неотрицательное, отличное от нуля, т.е. число большее или равное 1, то (10). Сравнивая неравенства (9) и (10) получаем , так что и в этом случае имеем: . Теорема доказана.

Пример: Пусть z – неквадратное целое число. Найти c>0, такое, что для всех рациональных чисел имело бы место неравенство: . - корень многочлена x a -В . Деля x 2 -D на x- , находим g(x)=x+ . При d d имеем , т.е. M= + d . В качестве c берем , при этом выгодней всего взять d так, что d 2 + d -1=0, т.е. d = . При таком d получаем , так что при любых целых a и b имеем: . 3.2. Трансцендентные числа Лиувилля. Числа, являющиеся корнями уравнений с целыми коэффициентами, не исчерпывают все множество действительных чисел, т.е. существуют действительные числа отличные от алгебраических.

Определение 6: Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.

Впервые существование трансцендентных чисел доказано Лиувиллем.

Доказательство существования трансцендентных чисел у Лаувилля эффективно; на основе следующей теоремы, являющейся непосредственным следствием теоремы 5, строятся конкретные примеры трансцендентных чисел.

Теорема 6: Пусть a – действительное число. Если для любого натурального n ³ 1 и любого действительного c >0 существует хотя бы одна рациональная дробь , такая, что (11), то a – трансцендентное число.

Доказательство: Если бы a было алгебраическим, то нашлось бы (теорема 5) целое положительное n и действительное c >0 такие, что для любой дроби было бы , а это противоречит тому, что имеет место (11). Предположение, что a алгебраическое число, т.е. трансцендентное число.

Теорема доказана. Числа a , для которых при любых n ³ 1 и c>0 неравенство (11) имеет решение в целых числах a и b называются трансцендентными числами Лиувилля.

Пример: 1) a – трансцендентное число.

Возьмем произвольные действительные n ³ 1 и c>0. Пусть , где k выбрано настолько большим, что и k ³ n , тогда Поскольку для произвольных n ³ 1 и c>0 можно найти дробь такую, что , то a – трансцендентное число.

Заключение.

Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Они позволяют раскрыть вариантности алгебры для практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для средней школы.

Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. К этому разделу относятся вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел. Эта работа может служить в качестве учебного пособия при изучении теории алгебраических чисел. А так же она удобна в использовании при подготовке к экзамену. В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами. Все теоремы даны с полными доказательствами.

Приведенные примеры алгебраических чисел и действий над ними, даны с доступными пояснениями и, при необходимости, с доказательством.

Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории чисел.

экспертиза автомобиля в Твери
оценка стоимости патента в Орле
независимая экспертиза после залива в Брянске