Комплексные числа

Комплексные числа

Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является.

Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники. Цель настоящего реферата знакомство с историей появления комплексных чисел, их свойствами, действиями над ними, а также с решением уравнений с комплексным переменным.

История возникновения комплексных чисел 1. Развитие понятия о числе Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа.

Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э.

Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы . 2. На пути к комплексным числам В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: . Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень ( x =1 ), а если оно имеет три действительных корня ( x 1 =1 x 2,3 = XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a , b , c , d , e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж.

Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , 3. Утверждение комплексных чисел в математике Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д.

Образующих единое целое. В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n -ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): (подробнее смотри приложение). С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень.

Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. “Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно. После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида (переместительности): например, Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэрои гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Комплексные числа и их свойства 1. О комплексных числах В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они называются комплексными.

Комплексное число имеет вид a + bi ; здесь a и b – действительные числа , а i – число нового рода, называемое мнимой единицей. “Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0). Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi ; действительное число b – ординатой комплексного числа a + bi . Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i * i равно –1, т.е. i 2 = -1. (1) Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

Действительное число а записывается также в виде a + 0 i (или a – 0 i ). Примеры.

Запись 3 + 0 i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0 i означает –2. Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi . Два комплексных a + bi , a ’ + b ’ i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если a = a ’, b = b ’. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство: 2 + 5 i = 8 + 2 i , то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом. 2. Геометрическое изображение комплексных чисел Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на рис.2, где точка K изображает число 5. Это число можно изобразить также отрезком ОK, учитывая не только его длину, но и направление.

Каждая точка С “числовой прямой” изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОС соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на “числовой прямой” не остаётся места для комплексных чисел. Но комплексные числа можно изобразить на “числовой прямой”. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, а ордината у равна ординате b комплексного числа. Примеры. На рис. 2 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5 i . Точка В (-4,-5) изображает комплексное число –4 - 5 i . Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид a + 0 i ) изображают точками оси O Х, а чисто мнимые – точками оси O У. Примеры. Точка К на рис. 2 изображает действительное число 5, точка L – чисто мнимое число 3 i . Начало координат изображает число 0. Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А’ на рис. 2 изображают сопряжённые числа 3 +5 i и 3 -5 i . Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число a + bi можно изобразить не только точкой M (рис. 1), но также вектором О M . Замечание. Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами 3. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q . Формулами a = r cos q , r=a/cos q b = r sin q , r=b/sin q r – длина вектора ( a + bi ) , q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1). Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r ( cos q + i sin q ), где r > 0 т.е. z = a + bi или z = r * cos q + r * sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.

Действия с комплексными числами 1. Сложение комплексных чисел Определение: Суммой комплексных чисел a + bi и a ’ + b ’ i называют комплексное число ( a + a ’) + ( b + b ’) i . Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0 i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9). Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 – 3i) = - 4 В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a + bi и a - bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы. 2. Вычитание комплексных чисел.

Определение.

Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a ’ + b ’ i (вычитаемое) называется комплексное число ( a – a ’) + ( b – b ’) i . Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6 3. Умножение комплексных чисел.

Определение.

Произведением комплексных чисел a + bi и a ’ + b ’ i называется комплексное число (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i. Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i 2 = -1. Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i. Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2 Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению. 4. Деление комплексных чисел. В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение.

Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a ’ + b ’ i – значит найти такое число x + yi , которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: ( a + bi ):( c + di )= Пример 1. Найти частное (7 – 4 i ) :(3 + 2i). Записав дробь (7 – 4 i )/(3 + 2 i ), расширяем её на число 3 – 2 i , сопряженное с 3 + 2 i . Получим : ((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i. Пример 1 предыдущего пункта даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i. Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a ’ + b ’. Получим a + bi . Решение уравнений с комплексными переменными Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z 2 = a , где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение: 1) имеет один корень z = 0, если а = 0; 2) имеет два действительных корня z 1,2 = , если а>0; 3) не имеет действительных корней, если а На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень . Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z 2 = a , если: 1) а = -1; 2) а = -25; 3) а = -3. 1) z 2 = -1. Так как i 2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z 2 = i 2 , или z 2 - i 2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем ( z - i )( z + i ) = 0, z 1 = i , z 2 = - i .Ответ. z 1,2 = i . 2) z 2 = -25. Учитывая, что i 2 = -1,преобразуем это уравнение: z 2 = (-1)25, z 2 = i 2 5 2 , z 2 - 5 2 i 2 = 0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z 1 = 5i, z 2 = -5i.Ответ: z 1,2 = 3) z 2 = -3, z 2 = i 2 ( 2 , z 2 - ( 2 i 2 = 0, (z - Ответ: z 1,2 = . Вообще уравнение z 2 = a , где а Z 1,2 = i . Используя равенство i 2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: i , i , i Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az 2 + bz + c = 0, где а, b , с - действительные числа, а 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле: Z 1,2 = . Задача 2. Решить уравнение z 2 -4 z +13=0. По формуле находим: z 1,2 = = 2 i . Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z 1 =2+3 i и z 2 =2-3 i . Найдем сумму и произведение этих корней: z 1 + z 2 =(2+3 i )+(2-3 i )=4, z 1 z 2 =(2+3 i )(2-3 i )=13. Число 4 - это 2-й коэффициент уравнения z 2 -4 z +13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z 1 и z 2 - корни уравнения az 2 + bz + c = 0, z 1 + z 2 = z 1 z 2 = Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z 1 =-1-2 i . Второй корень z 2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z 1, то есть z 2 =-1+2 i . По теореме Виета находим P=-(z 1 +z 2 )=2, q=z 1 z 2 =5. Ответ z 2- 2 z +5=0. Приложение. В качестве приложения я хочу рассмотреть формулу (иногда в литературе она имеет название теоремы) Муавра. Она имеет большое значение в тригонометрии, потому что позволяет выражать синусы и косинусы углов ( n * x ), где n – любое целое число, через простые функции sin x и cos x . Формула: где i – мнимая часть комплексного числа, i 2 = -1 Пример : cos3q + i*sin3q =(cosq + i*sinq) 3 = cos 3 q + 3i cos 2 q * sinq + 3i 2 * cosq * sin 2 q + i 3 sin 3 q = cos 3 q - 3cosq * sin 2 q + i*( 3cos 2 q * sinq - sin 3 q ) Приравнивая абсциссы и ординаты, получаем: cos3q = cos 3 q - 3cosq * sin 2 q sin3q = 3cos 2 q * sinq - sin 3 q Таким же образом можно значительно упростить sin 4 x , cos 4 x ( sin 5 x , cos 5 x и т.д.) до выражений, содержащих sinx и cosx Заключение * Комплексные числа, несмотря на их “ лживость ” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.

Именно поэтому нам расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

рыночная оценка акций в Орле
кадастровая стоимость в Брянске
оценка залива квартиры в Туле