Проекции точки

Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается OX . Плоскости проекций делят пространст во на четыре двугранных угла — четверти.

Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то види мыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые располо жены в пределах той же первой четверти. При построении проекций необходимо по мнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке показаны точка А и ее орто гональные проекции а 1 и а 2 . Точку а 1 называют горизонтальной проекцией точки А, точку а 2 — ее фронтальной проекцией . Каждая из них является основанием перпендику ляра, опущенного из точки А соответ ственно на плоскости H и V . Можно доказать, что проекции точки всегда расположены на прямых, перпенди кулярных оси ОХ и пересекающих эту ось в одной и той же точке.

Действительно, проецирующие лучи А а 1 и А а 2 определя ют плоскость, перпендикулярную плоско стям проекций и линии их пересечения — оси ОХ. Эта плоскость пересекает H и V по прямым а 1 а x и а 1 а x ,, которые образуют с осью OX и друг с другом прямые углы с вершиной в точке а x . Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки a 1 и a 2 , расположенные на прямых, пересекающих ось OX в данной точке под прямым углом, то они являются проекциями некоторой точки А. Эта точка определяется пересечением перпендикуляров, восставленных из точек a 1 и a 2 к плоскостям H и V . Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным.

Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть вертикальными Но и в этом случае доказанное выше предположение об ориента ции разноименных проекций точек относи тельно оси остается справедливым. Чтобы получить плоский чертеж, состоя щий из указанных выше проекций, плоскость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V , как показано стрелками на рисунке. В результате передняя полуплоскость H будет совмещена с нижней полуплоскостью V , а задняя полуплоскость H — с верхней полупло скостью V . Проекционный чертеж, на котором плос кости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным об разом одна с другой, называется эпюром ( от франц. еpure – чертеж ). На рисунке показан эпюр точки А . При таком способе совмещения плоскостей H и V проекции a 1 и a 2 окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси OX . При этом расстояние a 1 a x — от горизонтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости V , а расстояние a 2 a x — от фронтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости H . Прямые линии, соединяющие разнои менные проекции точки на эпюре, усло вимся называть линиями проекционной связи . Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находит ся данная точка. Так, если точка В распо ложена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проек ции окажутся лежащими над осью OX. Если точка С находится в третьей чет верти, то ее горизонтальная проекция по сле совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX . На конец, если точка D расположена в четвертой четверти, то обе проекции ее ока жутся под осью OX . На рисунке пока заны точки М и N , лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, дру гая же проекция ее оказывается лежа щей на оси OX . Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с ко торой совпадает сама точка, пишется за главная буква без индекса.

Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или чет вертой четверти на одинаковом расстоя нии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если послед няя расположена на оси OX . ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в про странстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность точек, то можно утверждать, что и две орто гональные проекции предмета (при нали чии буквенных обозначений) вполне опре деляют его форму.

Однако в практике изображения строи тельных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необходимость в создании дополнительных проекций.

Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.

Модель трех плоскостей проекций пока зана на рисунке.

Третья плоскость, перпен дикулярная и H и V , обозначается бук вой W и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обоз начают их заглавными буквами или циф рами с индексом 3 ( a з , b з , c з , ... 1з, 2з, 3 3 ...). Плоскости проекций, попарно пересека ясь, определяют три оси: О X , О Y и О Z , которые можно рассматривать как систе му прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Сис тема знаков, указанная на рисунке, со ответствует «правой системе» координат. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты . Нумера ция октантов дана на рисунке. Как и прежде, будем считать, что зри тель, рассматривающий предмет, находит ся в первом октанте. Для получения эпюра плоскости H и W вращают, как показано на рис унке , до совмещения с плоскостью V . В результа те вращения передняя полуплоскость H оказывается совмещенной с нижней по луплоскостью V , а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V . При повороте на 90° вокруг оси О Z передняя полуплоскость W совместится с правой полуплоскостью V , а задняя полупло скость W — с левой полуплоскостью V . Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси О X и О Z , лежащие в не подвижной плоскости V , изображены только один раз, а ось О Y показана дважды.

Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H , ось О Y на эпюре совме щается с осью О Z , а вращаясь вместе с плоскостью W , эта же ось совмещается с осью О X . В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— О X , — О Y , — О Z ) указываться не будут. ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА. Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определе ния ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат х , у и z . Координату х называют абсциссой , у — ординатой и z — аппликатой.

Абсцисса х определяет расстояние от данной точки до плоскости W , ордината у — до плоскости V и аппликата z - до плоскости H . Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке , составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Какая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A ( х , у, z ). Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись при мет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точ ка А, все координаты которой положитель ны, находится в первом октанте Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора ОА по отношению к началу координат. Если i , j , k — единичные векторы, направ ленные соответственно вдоль координат ных осей х , у, z ( рисунок ), то ОА = О A x i +ОА y j + ОА z k , где ОА Х , ОА У , ОА г — координаты векто ра ОА Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели ( рисунок ) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда.

Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрез ки, соответственно равные 5, 4 и 6 едини цам длины. На этих отрезках ( О a x , О a y , О a z ), как на ребрах, строят прямоуголь ный параллелепипед.

Вершина его, проти воположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заме тить, что для определения точки А доста точно построить только три ребра парал лелепипеда, например О a x , a x a 1 и a 1 А или О a y , a y a 1 и a 1 A и т. д. Эти ребра образу ют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется со ответствующей координатой точки.

Однако построение параллелепипеда по зволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции.

Лучами, проецирующими точку на плос кости H , V , W являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А. Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположенной на плоско сти, определяется только двумя координа тами. Так, горизонтальная проекция a 1 опре деляется координатами х и у, фронтальная проекция a 2 — координатами х и z , про фильная проекция a 3 — координатами у и z . Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя координатами. На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a 1 и a 2 окажутся на одном перпендикуляре к оси О X , а проекции a 2 и a 3 — на одном пер пендикуляре к оси OZ . Что касается проекций a 1 и a 3 , то и они связаны прямыми a 1 a y и a 3 a y , перпенди кулярными оси О Y . Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отрезок a 1 a y не может быть продолжением отрезка a 3 a y . Построение проекций точки А (5, 4, 6) на эпюре по заданным координатам выполня ют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок О a x = х (в нашем случае х = 5), затем через точку a x прово дят перпендикуляр к оси О X , на котором с учетом знаков откладываем отрезки a x a 1 = у (получаем a 1 ) и a x a 2 = z (полу чаем a 2 ). Остается построить профильную проекцию точки a 3 . Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендику ляре к оси OZ , то через a 3 проводят пря мую a 2 a z ^ OZ . Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси О Z должна находиться a 3 ? Рассматривая координатный параллеле пипед (см. рисунок ), ребра которого a z a 3 = O a y = a x a 1 = y заключаем, что ис комое расстояние a z a 3 равно у.

Отрезок a z a 3 откладывают вправо от оси О Z , если у>0, и влево, если у Проследим за тем, какие изменения про изойдут на эпюре, когда точка начнет ме нять свое положение в пространстве. Пусть, например, точка А (5, 4, 6) станет перемещаться по прямой, перпендикуляр ной плоскости V . При таком движении будет меняться только одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости V . Постоянными будут оста ваться координаты х и z , а проекция точ ки, определяемая этими координатами, т. е. a 2 не изменит своего положения. Что касается проекций a 1 и a 3 , то пер вая начнет приближаться к оси О X , вторая — к оси О Z . На рисунках новому положению точки соответствуют обозначе ния a 1 ( a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V ( y = 0), две из трех проекций ( a 1 2 и a 3 2 ) будут лежать на осях.

Переместившись из I октанта во II , точка начнет удаляться от плоскости V , ко ордината у станет отрицательной, ее абсо лютная величина будет возрастать. Гори зонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости H , на эпюре окажется выше оси О X , а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости W , на эпюре будет слева от оси О Z . Как всегда, отрезок a z a 3 3 = у. На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения ко ординатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит чер теж. В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображе ние предмета, а не его положение относи тельно плоскостей проекций.

Плоскости проекций в этом случае опре делены с точностью лишь до параллельно го переноса (рисунок). Их обычно переме щают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказа лись над плоскостью H и перед плоско стью V . Так как положение оси X 12 оказы вается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости H и V совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были распо ложены на вертикальных прямых.

Безосный эпюр точек А и В (рисунок) не определяет их положения в пространстве, но позволяет судить об их относительной ориентировке. Так, отрезок x характери зует смещение точки А по отношению к точке В в направлении, параллельном плоскостям H и V . Иными словами, x указывает, насколько точка А расположена левее точки В. Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V , определяется отрезком y , т. е. точка А в нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В, на расстояние, равное y . Наконец, отрезок z показывает превышение точки А над точкой В. Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей координат.

Однако полный отказ от них нельзя признать целесообразным.